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Joãozinho e o fantástico desafio matemático
(Desafio da Igualdade Matemática utilizando as quatro Operações básicas)


Este livro foi publicado em setembro/2018 pelo método de Self Publishing (auto-publicação) do Clube de Autores, nos formatos impresso ou eletrônico. Trata-se de brincar de construir “relações de igualdades”. Ou seja, do aprendizado das quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) por meio da construção de sentenças matemáticas que resultem em igualdades entre quatro números dados ou escolhidos, por meio de um jogo matemático denominado Desafio da Igualdade Matemática utilizando as quatro Operações básicas. O livro está dividido em duas partes. Na primeira, tem-se um texto voltado para o público infanto-juvenil, onde são introduzidas as regras e procedimentos do desafio na forma de conto. A seguir, trata-se do desafio propriamente dito, com explicações lógicas, utilizando a linguagem científica e os termos matemáticos.

 

          Joãozinho decidiu inovar ao apresentar como trabalho escolar um desafio matemático capaz de desenvolver habilidades com cálculos mentais e raciocínio lógico envolvendo as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) que proporciona diversão e aprendizado enquanto se brinca de “criar relações de igualdades entre quatro números utilizando operações aritméticas elementares”. Por ser uma ideia ousada e diferente das demais apresentadas pelos colegas, a professora ficou perplexa com a sua disposição e criatividade. No entanto, como ele não conseguiu apresentar o desafio de forma clara e objetiva, por não ser especialista na área e por duvidar da autenticidade do projeto apresentado, ela o submete à uma comissão de avaliação deixando Joãozinho apreensivo e à mercê de um posicionamento colegiado sobre a validade e a obtenção de pontuação de seu trabalho escolar.

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Atualmente o livro está disponível também em outras livrarias e editoras, como a Livraria Cultura, a Saraiva e a Amazon e pode ser acessado diretamente nos sites pelo nome do livro ou do autor, inclusive na loja virtual do Clube de Autores, no link abaixo: 
www.clubedeautores.com.br

Preço de venda (Versão impressa): R$ 29,40 

Preço de venda (Versão ebook): R$ 12,92 
Edição: (1) (2018) 
Número de páginas : 68 

Formato: A5 148x210

Coloração: Preto e branco

Acabamento: Brochura c/ orelha

Tipo de papel: Offset 75g

Tópicos: Recreações e Jogos, Lógica, Aritmética, Educação, Didáticos, Ciências Exatas . 
Palavras-chave: matemática, operações, jogo, desafio, aritmética.

Desafio da Igualdade Matemática 
utilizando as quatro Operações básicas
(dIMOb)


TEXTO DISPONÍVEL EM PDF NOS LINKS AO FINAL     

 Objetivo

O objetivo principal deste desafio é desenvolver habilidades com cálculos mentais e raciocínio lógico envolvendo as quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) a partir da utilização de números inteiros para construir sentenças matemáticas cujos cálculos entre seus elementos resultem em relações de igualdades.


           Trata-se de brincar de construir igualdades matemáticas, ou seja, do aprendizado das quatro operações por meio de `relações de igualdades` entre quatro números dados ou escolhidos, dispostos em uma estrutura básica ao redor do sinal de igualdade.
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Público-alvo:

Direcionado a quaisquer pessoas com prévios conhecimentos das quatro operações básicas da aritmética (recomendado para estudantes do ensino fundamental a partir do 5º ano). 

Conjuntos universos dos números e sinais a serem trabalhados:

Diferente do que ocorre em muitos jogos e desafios matemáticos que envolvem as quatro operações, neste não se fixa previamente nenhum dado para a construção das sentenças matemáticas, sendo disponibilizado ao participante apenas os seguintes conjuntos universos de números e sinais a serem trabalhados:

a) conjunto dos números de 0 a 9: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), positivos ou negativos;

b) subconjunto a ser trabalhado por vez: 4 (quatro) algarismos quaisquer retirados do universo dos números acima (a, b, c, d), ex. 2, 3, 4 e 5; e

c) sinais das quatro operações básicas da aritmética (+-x÷). 

Estrutura

O cálculo mental e o raciocínio lógico estão presentes desde a composição da estrutura do desafio, uma vez que é necessário operar aritmeticamente quatro elementos (a, b, c, d), dados ou escolhidos entre os números de 0 a 9 (zero a nove) com valores positivos ou negativos, utilizando os sinais das quatro operações (+-x÷) para construir sentenças matemáticas fechadas e verdadeiras, cujos resultados das operações configurem uma “relação de igualdade”, como a que se visualiza abaixo:


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         Com os dados matemáticos iniciais, parte-se para a construção de sentenças matemáticas do tipo x = y, manipulando-se os números e os sinais de forma a configurar operações cujos cálculos resultem em valores iguais de ambos os lados da sentença, onde a igualdade matemática é denotada pelo sinal de igualdade `=`, de tal sorte que a sentença `x = y` signifique que x e y são iguais, e onde os membros da sentença (x) e (y) são substituídos pelos 4 (quatro) algarismos dados ou escolhidos (a, b, c, d) e intercalados pelos sinais (+-x÷), conforme exemplo esquematizado na figura a seguir.

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          As igualdades que atendem ao desafio são obtidas por dois tipos de sentenças matemáticas compostas por quatro elementos (a, b, c, d), intermediados pelos quatro sinais das operações básicas (+-x÷), onde as expressões ou equivalências também podem ser antecedidas pelos sinais (+-) para identificar a valoração positiva ou negativa assumida pelos números, conforme figura abaixo:

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Na primeira sentença de igualdade (tipo 3 por 1) há uma expressão numérica envolvendo três elementos que se iguala ao quarto elemento, o qual constitui o segundo membro da sentença. Na segunda igualdade matemática do desafio proposto (tipo 2 por 2) há duas expressões numéricas: uma à esquerda e outra à direita do sinal de igualdade. A expressão à esquerda do sinal de igualdade (=) constitui o primeiro membro. A expressão à direta do sinal de igualdade (=) constitui o segundo membro.

Dadas as estruturas básicas para as relações de igualdades, o que se espera do participante é que construa sozinho o máximo de “sentenças matemáticas fechadas e verdadeiras”, com “quatro elementos”, cujas operações entre eles resultem em “relações de igualdades”. Para o exemplo de subconjunto anteriormente dado (2, 3, 4, 5), tem-se: 2 x 4 – 5 = 3, onde as operações utilizando três dos elementos se igualam ao quarto, ou 2 x 4 = 5 + 3, onde as expressões de ambos os lados se igualam, sem que sejam utilizados elementos estranhos ao subconjunto dado ou escolhido (2, 3, 4, 5). 

Regras:

1)            Os 4 (quatro) números, dados ou escolhidos no conjunto universo, tomados um a um ou em conjunto (a, b, c, d) não podem se repetir dentro da mesma sentença de igualdade. No entanto, podem estar dispostos em qualquer ordem e assumir valores positivos ou negativos, conforme a igualdade buscada. Ex. – 2 + 3 + 4 = 5;

2)            Os sinais das quatro operações básicas (+-x÷) podem ser alternados ou mesmo repetidos livremente, permitindo que os mesmos números configurem diversas igualdades matemáticas a partir do uso dos quatro sinais. Ex.:  – 5 – 2  =  – 4 – 3;

3)            Em regra, os cálculos devem ser efetuados na ordem em que se apresentam e sem a preferência de operações, exceto quando se prefira utilizá-la, explicitando-se a operação a ser priorizada por meio do uso de parêntesis `(...)` ou colchetes “[...]”, independentemente de tratar-se de adição, subtração, multiplicação ou divisão. Ex.:  4 ÷ (5 – 3) = 2; e

4)            Os resultados para ambos os lados da igualdade matemática devem ser encontrados tão somente por meio de operações ou equivalências entre os quatro números dados ou escolhidos para compor a sentença (neste caso: 2, 3, 4, 5). 

Procedimentos operacionais:

Os procedimentos operacionais podem ser observados na sentença fechada e verdadeira:  4 ÷ 2 = 5 – 3, onde nenhum outro resultado a validaria se fosse obtido com outros números que não os do subconjunto dado ou escolhido, em qualquer ordem, positivos ou negativos. Ou seja, uma vez obtido 2 de um dos lados (4 ÷ 2), haveria de se buscar resultar 2 também do outro, utilizando-se os dois números restantes submetidos a um dos quatro sinais. Também seria possível construir a sentença: 4 ÷ 2 + 3 = 5, onde o segundo membro da sentença é um dos quatro números do desafio (no caso: 2, 3, 4, 5). Sendo falsa a sentença, não sendo possível a igualdade ou sendo utilizados outros números além dos quatro dados ou escolhidos, a sentença não atende ao desafio.

Ainda a título de exemplo, com ênfase no subconjunto: 2, 3, 4 e 5, tem-se, na Figura abaixo, a demonstração visual das escolhas e das posições dos números, bem como o fluxo livremente alternado ou repetido dos sinais das quatro operações básicas (+-x÷), cujos cálculos resultam em igualdades matemáticas.


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Veja-se que na primeira sentença matemática fechada e verdadeira (em evidência), que foi construída do zero e aproveitando-se apenas a estrutura de igualdade, tem-se as operações de adição e divisão, nessa ordem e envolvendo os três números que compõem o primeiro membro da sentença (5 + 3) ÷ 4, totalizando 2, que, propositadamente, também é membro do subconjunto evidenciado (2, 3, 4, 5) e ainda não havia sido utilizado nos cálculos. Dada apenas a estrutura de igualdade, coube ao participante escolher quais os números e em qual ordem e quais os sinais e sua disposição, bem como o total tido como resultado e que torna a sentença verdadeira.

Na segunda sentença de igualdade em evidência tem-se, de um lado, a expressão 2 x 4 totalizando 8 e, do outro, a expressão 5 + 3 que também totaliza 8, configurando a igualdade por meio do mesmo resultado para ambos os lados (neste caso 8). Para o primeiro membro da sentença utilizou-se a operação de multiplicação e para o segundo a de adição. Novamente, nada foi previamente dado além dos conjuntos universos para os números e os sinais, nem mesmo o resultado dos cálculos teve origem externa, pois foi obtido pela operação entre os quatro elementos originais da sentença evidenciada (2, 3, 4, 5), manuseados conforme o conhecimento prévio do participante sobre as quatro operações básicas.

Utilizando-se o mesmo raciocínio e os números já mencionados, pode-se construir também os exemplos do quadro abaixo:


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         Note-se que os números não foram repetidos dentro da mesma igualdade matemática buscada. Nos cálculos da primeira sentença do Quadro acima (3 + 4 – 2 = 5), os números 2, 3, 4, 5, são utilizados uma única vez. Na próxima sentença (4 x 2 – 5 = 3), os mesmos números são utilizados, mas todos – novamente – uma única vez, embora utilizados em diferentes posições ou ordens e os resultados para ambos os lados foram encontradas por meio de operações ou equivalência entre eles. A primeira sentença de igualdade do tipo 2 por 2 (4 ÷ 2 = 5 – 3) também segue a mesma regra.

Quanto aos sinais das quatro operações básicas percebe-se que foram livremente alternados, sendo observada, inclusive, a repetição de sinais em algumas das igualdades matemáticas apresentadas (Ex. – 5 – 2  =  – 4 – 3).

O participante do desafio pode prosseguir utilizando o mesmo subconjunto de números até esgotar as sentenças que o seu conhecimento prévio das quatro operações permitir ou optar por utilizar um novo subconjunto de quatro números dados ou escolhidos entre 0 e 9 (positivos ou negativos) para obter as igualdades seguintes, por exemplo: 5, 6, 7 e 8; para obter as igualdades: (5 – 6 + 8 = 7 ou 5 + 8 = 6 + 7). Com um terceiro subconjunto: 0, 1, 2 e 3, pode-se obter as seguintes igualdades: (0 + 1 + 2 = 3 ou 3 – 1 = 2 + 0) e assim por diante.

Devem ser construídas novas igualdades matemáticas válidas a cada rodada, sob pena de se perder o jogo ou desafio ou de se ter que passar a vez a outro participante. Cabe ao participante, dentro do universo que lhe é apresentado, avaliar qual o número quer utilizar e em qual ordem e escolher qual o sinal e onde posicioná-lo, bem como determinar o valor que afirma que a igualdade é verdadeira. Utilizando esse raciocínio, deve construir o máximo de sentenças que configurem igualdades matemáticas, podendo optar por um ou outro tipo, ou pelos dois (com estruturação simples, iniciadas por números negativos ou com a preferência de operações, identificadas pelo uso de parêntesis ou colchetes).

Para dar um aspecto de maior competividade ao desafio, pode-se escolher os 4 (quatro) números por meio de sorteio, roleta ou pequenos papeis enrolados onde constem os números de 0 a 9 (zero a nove) ou os subconjuntos já com os quatro números, informando que podem assumir valores positivos ou negativos.

A forma de pontuação pode ser preestabelecida pelos participantes do desafio, sendo sugerido que a cada igualdade matemática válida seja obtido 1 (um) ponto. No entanto, para valorizar o esforço, pode-se acrescer mais 1 (um) ponto pela dificuldade de operações básicas imposta pelos 4 (quatro) números dados ou escolhidos, especialmente quando se utilizam os números mais altos ou os extremos. O objetivo não é apenas construir uma sentença que resulte em igualdade, mas todas as igualdades que o participante possa construir, a depender de seus conhecimentos prévios sobre as quatro operações, podendo-se, inclusive, preestabelecer uma quantidade mínima de respostas que atendam ao desafio.

Quando aplicado o desafio a apenas dois participantes, pode-se chegar ao ganhador quando um deles desistir ou não conseguir mais construir igualdades matemáticas com os números de que dispõe.

            Caso se opte por selecionar os 4 (quatro) algarismos por meio de sorteio ou de outras formas de escolha, ou ainda que se opte por aplicar o desafio utilizando um dos subconjuntos de algarismos previamente estabelecido entre os números possíveis, pode-se utilizar o formulário sugerido (Ver links abaixo) que foi desenvolvido para facilitar o manuseio dos sinais e o preenchimento dos números que vão compor as igualdades matemáticas.


          É bom lembrar que o desafio não necessita, necessariamente, da utilização de formulários ou procedimentos específicos, podendo sua estrutura principal ser reproduzida em recortes de papel, ser rascunhada à lápis no caderno ou rabiscado a giz no chão ou no quadro negro, bem como desenhado em qualquer superfície, onde quer que seja possível efetuar as operações básicas em busca de igualdades matemáticas, bastando configurar a estrutura básica contida na figura ao lado, para que se possa “brincar de estabelecer relações de igualdade”.
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Para ter acesso aos textos completos com os procedimentos de maior dificuldade, ao formulário de auxílio ao Desafio, às explicações utilizando planilhas e tabelas, bem como outras informações complementares, acesse os links abaixo:

Joãozinho e o fantástico desafio matemático (versão infantil em formato de Conto) - Parte 1 (PDF)


  


        Por favor sinta-se à vontade para imprimir e/ou testar este Desafio (favor citar a fonte). Informe-nos se conhece algum jogo matemático igual ou parecido, envie-nos suas sugestões, críticas ou elogios pelos canais disponíveis neste site (especialmente o e-mail: fhelios@gmail.com).

Grato,
Francisco Hélio de Sousa

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Site sempre em fase de construção - críticas/sugestões: fhelios@gmail.com

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